试题

如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CG⊥AB于E，AD延长后交GC于F．
（1）求证：△AFC∽△ACD；
（2）若CD=2，AD=3，AC=4，求CE的长．

解：连接AG，
∵AB为圆O直径，AB⊥CG，
∴CE=GE，
∴AC=AG，∠2=∠3，
∵∠1=∠3（四边形的外角等于内对角），
∴∠1=∠2，
∴∠ADC=∠ACF（等角的补角相等），
又∵∠CAF=∠DAC，
∴△ACD∽△AFC；

（2）∵△ACD∽△AFC，
∴

AC

AF

=

AD

AC

，
∴AC²=AD·AF，
∵AD=3，AC=4，
∴AF=

16

3

∴FD=AF-AD=

16

3

-3=

7

3

，
又∵∠1=∠3，∠CFD=∠AFG，
∴△CFD∽△AFG，
∴

CD

AG

=

CF

AF

=

FD

FG

，
∵AG=AC=4，

2

4

=

CF

16 3

=

7 3

FG

，
解得：CF=

8

3

，FG=

14

3

，
∴CG=FG-CF=2，
而点E为CG中点
∴CE=1．
解：连接AG，
∵AB为圆O直径，AB⊥CG，
∴CE=GE，
∴AC=AG，∠2=∠3，
∵∠1=∠3（四边形的外角等于内对角），
∴∠1=∠2，
∴∠ADC=∠ACF（等角的补角相等），
又∵∠CAF=∠DAC，
∴△ACD∽△AFC；

（2）∵△ACD∽△AFC，
∴

AC

AF

=

AD

AC

，
∴AC²=AD·AF，
∵AD=3，AC=4，
∴AF=

16

3

∴FD=AF-AD=

16

3

-3=

7

3

，
又∵∠1=∠3，∠CFD=∠AFG，
∴△CFD∽△AFG，
∴

CD

AG

=

CF

AF

=

FD

FG

，
∵AG=AC=4，

2

4

=

CF

16 3

=

7 3

FG

，
解得：CF=

8

3

，FG=

14

3

，
∴CG=FG-CF=2，
而点E为CG中点
∴CE=1．