试题

题目：
青果学院已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF·BE=2S的理由．
答案
青果学院证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠B=45°，
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，
∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；
∴∠BCE=∠2，
∵∠A=∠B，
∴△ACF∽△BEC．
∴
AC
BE
=
AF
BC
，
∴AC·BC=BE·AF，
∴S△ABC=
1
2
AC·BC=
1
2
BE·AF，
∴AF·BE=2S．
青果学院证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠B=45°，
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，
∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；
∴∠BCE=∠2，
∵∠A=∠B，
∴△ACF∽△BEC．
∴
AC
BE
=
AF
BC
，
∴AC·BC=BE·AF，
∴S△ABC=
1
2
AC·BC=
1
2
BE·AF，
∴AF·BE=2S．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
由AC=BC，∠ACB=90°，即可求得∠A=∠B=45°，即可证得：∠ECF=∠B，又由∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1，可证得：∠BCE=∠2，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△ACF∽△BEC，根据三角形面积的求解方法，则可证得：AF·BE=2S．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．解此题的关键是要注意数形结合思想的应用．
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