试题

已知，如图①，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，DC=6，AB=12，BC=10．Rt△EFG（∠EGF=90°）的边EF与BC完全重合，FG与BA在同一直线上．现将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以

5

2

cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，连接FM，当点E运动到点D时，Rt△EFG和点M都停止运动．设点M运动的时间为t（s）

（1）当点Q是AC的中点时，求t的值；
（2）判断四边形CHFM的形状，并说明理由；
（3）如图③，连接HM，设四边形ABMH的面积为s，求s与t的函数关系式及s的最小值．

解：（1）∵点Q是AC的中点时，得出E，G分别在DC，AG中点，
即EC=3，
∴t=1；

（2）平行四边形　
理由：
∵Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移，点M以

5

2

cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，
∴当运动t秒时，BF=3t，CE=

5

2

t，
∴

BF

AB

=

3t

12

=

t

4

，

BM

BC

=

5 2 t

10

=

t

4

，
∴

BF

AB

=

BM

BC

，
∴MF∥AC，
∵EC=BF（平移的性质），AB∥CD，
∴四边形CEFB是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴HF∥CM，CH∥MF，
∴四边形CHFM是平行四边形；

（3）作CR⊥AB，NM⊥AB，FZ⊥BM，HW⊥BC，
∴MN∥CR，
∴

MN

CR

=

BM

BC

，
∵DC=6，AB=12，BC=10，将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以

5

2

cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，
∴

MN

8

=

5 2 t

10

，
∴MN=2t，
∵MN×FB=FZ×MB，
∴2t×3t=FZ×

5

2

t，
∴FZ=

12

5

t，
∴HW=

12

5

t，
∴S=S_△ABC-S_△HMC，
=48-

1

2

×

12

5

t×（10-

5

2

t），
=3t²-12t+48
=3（t-2）²+36，
∴S_最小值=36．
解：（1）∵点Q是AC的中点时，得出E，G分别在DC，AG中点，
即EC=3，
∴t=1；

（2）平行四边形　
理由：
∵Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移，点M以

5

2

cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，
∴当运动t秒时，BF=3t，CE=

5

2

t，
∴

BF

AB

=

3t

12

=

t

4

，

BM

BC

=

5 2 t

10

=

t

4

，
∴

BF

AB

=

BM

BC

，
∴MF∥AC，
∵EC=BF（平移的性质），AB∥CD，
∴四边形CEFB是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴HF∥CM，CH∥MF，
∴四边形CHFM是平行四边形；

（3）作CR⊥AB，NM⊥AB，FZ⊥BM，HW⊥BC，
∴MN∥CR，
∴

MN

CR

=

BM

BC

，
∵DC=6，AB=12，BC=10，将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以

5

2

cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，
∴

MN

8

=

5 2 t

10

，
∴MN=2t，
∵MN×FB=FZ×MB，
∴2t×3t=FZ×

5

2

t，
∴FZ=

12

5

t，
∴HW=

12

5

t，
∴S=S_△ABC-S_△HMC，
=48-

1

2

×

12

5

t×（10-

5

2

t），
=3t²-12t+48
=3（t-2）²+36，
∴S_最小值=36．