试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，CB=4，D是线段AB上的动点（点D运动过程中不与点A、点B重合）BD=x，过D作DE⊥AC，DF⊥BC．
（1）当点D运动到AB中点M时，线段EF的长度是
2.5
2.5
．
（2）设四边形DECF的面积为S，求S与x的函数关系式．
（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．
答案
2.5

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，CB=4，
∴AB=5，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，青果学院
∴四边形DECF是矩形，
当点D运动到AB中点M时，
则DF=
1
2
AC=
3
2
，DE=
1
2
BC=2，
∴EF=
DE2+DF2
=2.5，

（2））∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，BC=4，AC=3，
∴△DBF∽△ABC，
∴
DF
AC
=
BD
AB
，
∴
DF
3
=
x
5
，
∴DF=
3
5
x，
同理：DE=
4
5
（5-x），
∴S与x的函数关系式=DE·DF=
12
25
x（5-x）=
12
5
x-
12
25
x2，

（3）由（2）得：s=-
12
25
（x-2.5）2+
3
2
，
∴当x=
5
2
时，s有最大值为1.5．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理．
（1）当点D运动到AB中点M时，则DF，DE是三角形ABC的中位线，长度可求出利用勾股定理即可求出EF的长；
（2）用x表示出DE和DF的长，根据矩形的面积公式即可求出S与x的函数关系式．
（3）利用求出的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时x的值．
本题考查了相似三角形的判定及性质、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，根据表达式画出图象后，即可求出结论．
压轴题．
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