已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当n=8时，共向外作出了个小等边三角形；-青果题库-青果学院

题目：

（2011·桃城区模拟）已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．
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当n=8时，共向外作出了

18

个小等边三角形；当n=k时，共向外作出了

3（k-2）

个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是

3(k-2)

k2

S

3(k-2)

k2

S

（用含k的式子表示）．

答案

18

3（k-2）

3(k-2)

k2

S

解：由第1个图形可知：n=3时，共向外作出了3（3-2）个三角形；
由第2个图形可知：n=4时，共向外作出了3（4-2）个三角形；
…
所以当n=8时，共向外作出了3（8-2）=18个三角形；
当n=k时，共向外作出了3（k-2）个三角形；
又第k个图形中的每一个小三角形都与最大的等边三角形相似，相似比为1：k，
所以面积比为1：k²，且最大的等边三角形的面积为S，
则一个小等边三角形的面积为

1

k2

S，
所以这些小等边三角形的面积和是

3(k-2)

k2

S．
故答案为：18；3（k-2）；

3(k-2)

k2

S．

考点梳理

等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．

试题