试题

（2012·洛阳一模）如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G交BC于F，△AEG的面积为4，则四边形BEGF的面积为．

解：设AE=2x，BE=x，
则AB=AE+BE=3x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，AB=DA，
∴∠DAG+∠BAF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AGE=∠EGD=90°，
∴∠DAG+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△BAF和△ADE中，
∵

∠B=∠DAE ∠BAF=∠ADE AB=DA

，
∴△BAF≌△ADE（AAS），
∴BF=AE=2x，
在Rt△ABF中，AF=

AB2+BF2

=

13

x，
∵∠AGE=∠B=90°，∠BAF=∠GAE，
∴△AEG∽△AFB，
∴

S△AEG

S△AFB

=（

AE

AF

）²=（

2x

13 x

）²=

4

13

，
∵△AEG的面积为4，
∴△AFB的面积为13，
∴四边形BEGF的面积为：13-4=9．
故答案为：9．