试题

题目：
青果学院（2013·德惠市二模）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，AD=3，DB=4，将图1中△ADE绕点D顺时针旋转90°可以得到图2，则图1中△ADE和△BDF面积之和为
6
6
．
答案
6

解：如图1，∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形DECF是矩形，
由旋转的性质可得：DE=DF，
∴四边形DECF是正方形，
∴AC∥DF，DE∥BC，
∴∠A=∠FDB，∠EDA=∠B，
∴△AED∽△DFB，
∴
DE
BF
=
AD
BD
，
设DE=CE=CF=DF=x，
∴
x
BF
=
3
4
，
∴BF=
4
3
x，
在Rt△BDF中，BD2=DF2+BF2，
∴42=x2+（
4
3
x）2，
解得：x=
12
5
，
∴DF=
12
5
，BF=
16
5
，
∴S△BDF=
1
2
DF·BF=
1
2
×
12
5
×
16
5
=
96
25
，
∵S△BDF：S△DAE=（
BD
AD
）2=
16
9
，
∴S△ADE=
54
25
，
∴S△ADE+S△BDF=
54
25
+
96
25
=6．
故答案为：6．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；旋转的性质．
由题意易证得四边形DECF是正方形，则可证得△AED∽△DFB，设DE=CE=CF=DF=x，由相似三角形的对应边成比例，可得BF=
4
3
x，然后由勾股定理求得x的值，即可求得△BDF的面积，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，△ADE的面积，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
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