试题

题目：
青果学院已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D．
（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）若BC=2，求AB的长．
答案
证明：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
∴∠DBC=∠A=36°．
又∵∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD．

（2）∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，∠BDC=∠C=72°．
∴BD=BC=AD．
∵△ABC∽△BCD，
∴
AB
BC
=
BC
CD
．
即
AB
2
=
2
AB-2
．
解得：AB=1+
5
或1-
5
（不符合题意）．
∴AB=1+
5
．
证明：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
∴∠DBC=∠A=36°．
又∵∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD．

（2）∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，∠BDC=∠C=72°．
∴BD=BC=AD．
∵△ABC∽△BCD，
∴
AB
BC
=
BC
CD
．
即
AB
2
=
2
AB-2
．
解得：AB=1+
5
或1-
5
（不符合题意）．
∴AB=1+
5
．
考点梳理
等腰三角形的性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）根据角平分线的性质得到∠DBC=∠A，已知有一组公共角，则根据有两组角对应相等则两三角形相似可得到△ABC∽△BCD；
（2）相似三角形的对应边对应成比例，且由已知可得到BD=BC=AD，从而便可求得AB的长．
此题考查学生对相似三角形的判定及等腰三角形的性质的掌握情况．
综合题．
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