试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．

（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若AC=2
5
，AB=
a
sin60°
，CD=2，求⊙O的直径．
答案
青果学院解：（1）连接OC，
∵DC为圆O的切线，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，即AC为角平分线；


（2）连接BC，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD=
AC2-CD2
=
(2
5
)2-22
=4，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴
AC
AB
=
AD
AC
，即
2
5
AB
=
4
2
5
，
解得：AB=5，
则圆的直径为5．
青果学院解：（1）连接OC，
∵DC为圆O的切线，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，即AC为角平分线；


（2）连接BC，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD=
AC2-CD2
=
(2
5
)2-22
=4，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴
AC
AB
=
AD
AC
，即
2
5
AB
=
4
2
5
，
解得：AB=5，
则圆的直径为5．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）由DC为圆O的切线，连接OC，利用切线的性质得到CD与OC垂直，再由AD与DC垂直，得到AD与OC平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）连接BC，利用直径所对的圆周角为直角得到三角形ABC为直角三角形，再由（1）中AC为角平分线得到一对角相等，可得出三角形ACD与三角形ABC相似，由相似得比例，求出AB的长，即为圆的直径．
此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
计算题．
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