试题

题目：
如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点B的直线交⊙O1、⊙O2于C、D，
BD
的中青果学院点为M，AM交⊙O1于E，交CD于F，连CE、AD、DM．
（1）求证：AM·EF=DM·CE；　
（2）求证：
EF2
CE2
=
MF
MA
；
（3）若BC=5，BD=7，CF=2DF，AM=4MF，求MF和CE的长．
答案
青果学院（1）证明：连AB，
∵
BD
的中点为M，
∴∠BAM=∠MAD，
∵∠ABF+∠BAF+∠AFB=∠AMD+∠MAD+∠ADM=180°，
∴∠AFB=∠ADM，
∵∠BAF=∠BCE，
∴∠ECF=∠MAD，
∴△CEF∽△AMD，
∴
EF
DM
=
CE
AM
，
∴AM·EF=DM·CE；

（2）证明：∵∠C=∠BAF，∠BAF=∠BDM，
∴∠C=∠BDM，
∴CE∥DM，
∴
EF
CE
=
ME
DM
，
∵△CEF∽△AMD，
∴
FE
CE
=
MD
AM
，
∴
EF2
CE2
=
MF
DM
·
MD
AM
=
MF
MA


（3）解：∵BC=5，BD=7，
∴CD=BC+BD=12，
∵CF=2DF，
∴CF=8，FD=4，
∵△CEF∽△AMD，
∴
CF
AM
=
EF
DM
，
∵CE∥DM，
∴
CF
DF
=
EF
FM
，
∴
AM
DM
=
DF
FM
，
∴
CF
DM
=
CF
DF

∴DM=DF=4
∵AM=4MF=8，
∴MF=2，
∴CE=8．
青果学院（1）证明：连AB，
∵
BD
的中点为M，
∴∠BAM=∠MAD，
∵∠ABF+∠BAF+∠AFB=∠AMD+∠MAD+∠ADM=180°，
∴∠AFB=∠ADM，
∵∠BAF=∠BCE，
∴∠ECF=∠MAD，
∴△CEF∽△AMD，
∴
EF
DM
=
CE
AM
，
∴AM·EF=DM·CE；

（2）证明：∵∠C=∠BAF，∠BAF=∠BDM，
∴∠C=∠BDM，
∴CE∥DM，
∴
EF
CE
=
ME
DM
，
∵△CEF∽△AMD，
∴
FE
CE
=
MD
AM
，
∴
EF2
CE2
=
MF
DM
·
MD
AM
=
MF
MA


（3）解：∵BC=5，BD=7，
∴CD=BC+BD=12，
∵CF=2DF，
∴CF=8，FD=4，
∵△CEF∽△AMD，
∴
CF
AM
=
EF
DM
，
∵CE∥DM，
∴
CF
DF
=
EF
FM
，
∴
AM
DM
=
DF
FM
，
∴
CF
DM
=
CF
DF

∴DM=DF=4
∵AM=4MF=8，
∴MF=2，
∴CE=8．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；相交两圆的性质．
（1）首先连接AB，由
BD
的中点为M，易得：∠BAM=∠MAD与∠BAM=∠MAD，则可求得∠AFB=∠ADM；由同弧所对的圆周角相等，可得∠BAF=∠BCE，则得∠ECF=∠MAD，即可证得△CEF∽△AMD，由相似三角形的对应边成比例，即可证得AM·EF=DM·CE；
（2）首先易证得CE∥DM，根据平行线分线段成比例定理，即可得
EF
CE
=
ME
DM
，又由△CEF∽△AMD，可得
FE
CE
=
MD
AM
，则问题得证；
（3）首先由相似三角形的性质与平行线分线段成比例定理，求得MF与CE的值即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的性质以及平行线的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．
证明题；几何综合题．
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