已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中...-青果题库-青果学院

题目：

已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．
（1）当α=30°时（如图②），求证：AG=DH；
（2）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请根据图③说明理由．
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，DM与DN的比值是否发生改变？如果不改变，请直接写出比值；如果改变，请说明理由．
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答案

（1）证明：由题意可得：∠A=∠ADM=30°，
∴MA=MD，
又∵MG⊥AD于点G，
∴AG=DG，
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD，
∴C与N重叠，
又∵NH⊥DB于点H，
∴DH=BH，
∵AD=DB，
∴AG=DH；

（2）解：当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立．
如图③，在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
又∵∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB 青果学院

，
∴

AG

NH

=

MG

BH

，…①
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
又∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴

DH

MG

=

NH

DG

，…②
①×②，得

DG

AG

=

BH

DH

，
由比例的性质，得

DG+AG

AG

=

BH+DH

DH

，
即

AD

AG

=

BD

DH

，
∵AD=DB，
∴AG=DH；

（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，

DM

DN

值没有改变，
∵Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴

DM

DN

=

MG

DH

，
∵AG=DH，
∴

DM

DN

=

MG

AG

=tan∠A=tan30°=

3

，
∴

DM

DN

=

3

．
（1）证明：由题意可得：∠A=∠ADM=30°，
∴MA=MD，
又∵MG⊥AD于点G，
∴AG=DG，
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD，
∴C与N重叠，
又∵NH⊥DB于点H，
∴DH=BH，
∵AD=DB，
∴AG=DH；

（2）解：当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立．
如图③，在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
又∵∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB 青果学院

，
∴

AG

NH

=

MG

BH