试题

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AC向点C以每秒2厘米的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒1厘米的速度运动．设运动的时间为t秒（0＜t＜5），△PQC的面积为Scm²．
（1）求S与t之间函数关系式．
（2）当t为何值时，△PQC的面积最大，最大面积是多少？
（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能否为直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴根据勾股定理得：AC=10cm，
又∵运动的时间为t秒（0＜t＜5），
∴AP=2tcm，CQ=tcm，
CP=（10-2t）cm．
过Q点作QE⊥AC于E点．
∵∠QEC=∠B=90°，∠ACB=∠ACB，
∴△QEC∽△ABC，
∴

QE

AB

=

CQ

CA

，
∴

QE

6

=

t

10

，∴QE=

3

5

t
∴S与t之间的函数关系式为：
S=

1

2

PC·QE=

1

2

（10-2t）·

3

5

t=-

3

5

t2+3t．
答：S与t之间函数关系式是S=-

3

5

t²+3t．

（2）解：∵S=-

3

5

(t-

5

2

)2+

15

4

，
∴t=

5

2

s时，△PQC的面积最大，最大面积是

15

4

cm2，
答：当t为

5

2

s时，△PQC的面积最大，最大面积是

15

4

cm²．

（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形．
分两种情况：
①当∠PQC=90°时，
∵△CPQ∽△CAB，
∴

CQ

CB

=

CP

CA

∴

10-2t

10

=

t

8

，
解得t=

40

13

＜5符合题意．
②当∠CPQ=90°时，
∵△CPQ∽△CBA，
∴

CP

CB

=

CQ

CA

，
∴

10-2t

8

=

t

10

，
解得t=

25

7

＜5符合题意．
综合上述，在P、Q的移动过程中，
当

40

13

s或

25

7

s时，△PQC能为直角三角形．答：在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形，此时t的值是

40

13

s或

25

7

s．
解：（1）∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴根据勾股定理得：AC=10cm，
又∵运动的时间为t秒（0＜t＜5），
∴AP=2tcm，CQ=tcm，
CP=（10-2t）cm．
过Q点作QE⊥AC于E点．
∵∠QEC=∠B=90°，∠ACB=∠ACB，
∴△QEC∽△ABC，
∴

QE

AB

=

CQ

CA

，
∴

QE

6

=

t

10

，∴QE=

3

5

t
∴S与t之间的函数关系式为：
S=

1

2

PC·QE=

1

2

（10-2t）·

3

5

t=-

3

5

t2+3t．
答：S与t之间函数关系式是S=-

3

5

t²+3t．

（2）解：∵S=-

3

5

(t-

5

2

)2+

15

4

，
∴t=

5

2

s时，△PQC的面积最大，最大面积是

15

4

cm2，
答：当t为

5

2

s时，△PQC的面积最大，最大面积是

15

4

cm²．

（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形．
分两种情况：
①当∠PQC=90°时，
∵△CPQ∽△CAB，
∴

CQ

CB

=

CP

CA

∴

10-2t

10

=

t

8

，
解得t=

40

13

＜5符合题意．
②当∠CPQ=90°时，
∵△CPQ∽△CBA，
∴

CP

CB

=

CQ

CA

，
∴

10-2t

8

=

t

10

，
解得t=

25

7

＜5符合题意．
综合上述，在P、Q的移动过程中，
当

40

13

s或

25

7

s时，△PQC能为直角三角形．答：在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形，此时t的值是

40

13

s或

25

7

s．