试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，AB=20，BC=21，AC=13，如果动点D以每秒2个单位长的速度从点B出发沿射线BA方向运动，当运动到12秒时停止，直线DE∥BC，E为直线DE与直线CA的交点，若点D运动时间设为t秒．
（1）求当点D在线段AB上时线段DE的长度（用含t的代表式表示）；
（2）求出△DEC的面积S与时间t的函数关系式；
（3）S是否有最大值？若有，请求出最大值和相应t的值；若没有，请说明理由．
答案
解：（1）根据题意得：BD=2t，
当点D在线段AB上时，AD=AB-BD=20-2t，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
DE
BC
=
AD
AB
，
即
DE
21
=
20-2t
20
，
解得：DE=21-
21
10
t；

（2）①当0＜t＜10时，如图1，过点D作DM⊥BC于点M，作AN⊥BC于点青果学院N，
由勾股定理得：AN2=202-BN2=132-（21-BN）2，
BN=16，AN=12，
∴DM∥AN，
∴△BDM∽△BAN，
∴
BD
AB
=
DM
AN
，即
2t
20
=
DM
12
，
DM=
6
5
t，
S=
1
2
×DE×DM=
1
2
·（21-
21
10
t）·
6
5
t
S=-
63
50
t2+
63
5
t；
②当10＜t≤12时，如图2，
∵AN∥DM，
∴△BAN∽△BDM，
∴
BD
AB
=
DM
AN
，即
2t
20
=
DM
12
，
DM=
6
5
t，
∵DE∥BC，
∴△DEA∽△BAC，
∴
DE
BC
=
AD
AB
，
DE
21
2t-20
20
，
DE=
21
10
t-21，
S=
1
2
×DE×DM=
1
2
·（
21
10
t-21）·
6
5
t
S=
63
50
t2-
63
5
t；
③当D与A重合时，2t=20，
解得：t=10，
S=S△ABC=
1
2
×BC×AN=
1
2
×21×12=126；
即S=
-
63
50
t2+
63
5
t(0＜t＜10)
63
50
t2-
63
5
t(10＜t≤12)
126(t=10)
；

（3）S有最大值，
理由是：①当0＜t＜10时，S=-
63
50
t2+
63
5
t=-
63
50
（t-5）2+31.5；
当t=5时，此时S的最大值是31.5，
②当10＜t≤时，
S=
63
50
t2-
63
5
t=
63
50
（t-5）2-31.5，
抛物线的开口向上，在对称轴的右侧，s随t的增大，当t取12时，S最大，最大值是30.24
③当D与A重合时，2t=20，
解得：t=10，
S=S△ABC=
1
2
×BC×AN=
1
2
×21×12=126；
综合上述，当t=10时，S最大，最大值是126．
解：（1）根据题意得：BD=2t，
当点D在线段AB上时，AD=AB-BD=20-2t，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
DE
BC
=
AD
AB
，
即
DE
21
=
20-2t
20
，
解得：DE=21-
21
10
t；

（2）①当0＜t＜10时，如图1，过点D作DM⊥BC于点M，作AN⊥BC于点青果学院N，
由勾股定理得：AN2=202-BN2=132-（21-BN）2，
BN=16，AN=12，
∴DM∥AN，
∴△BDM∽△BAN，
∴
BD
AB
=
DM
AN
，即
2t
20
=
DM
12
，
DM=
6
5
t，
S=
1
2
×DE×DM=
1
2
·（21-
21
10
t）·
6
5
t
S=-
63
50
t2+
63
5
t；
②当10＜t≤12时，如图2，
∵AN∥DM，
∴△BAN∽△BDM，
∴
BD
AB
=
DM
AN
，即
2t
20
=
DM
12
，
DM=
6
5
t，
∵DE∥BC，
∴△DEA∽△BAC，
∴
DE
BC
=
AD
AB
，
DE
21
2t-20
20
，
DE=
21
10
t-21，
S=
1
2
×DE×DM=
1
2
·（
21
10
t-21）·
6
5
t
S=
63
50
t2-
63
5
t；
③当D与A重合时，2t=20，
解得：t=10，
S=S△ABC=
1
2
×BC×AN=
1
2
×21×12=126；
即S=
-
63
50
t2+
63
5
t(0＜t＜10)
63
50
t2-
63
5
t(10＜t≤12)
126(t=10)
；

（3）S有最大值，
理由是：①当0＜t＜10时，S=-
63
50
t2+
63
5
t=-
63
50
（t-5）2+31.5；
当t=5时，此时S的最大值是31.5，
②当10＜t≤时，
S=
63
50
t2-
63
5
t=
63
50
（t-5）2-31.5，
抛物线的开口向上，在对称轴的右侧，s随t的增大，当t取12时，S最大，最大值是30.24
③当D与A重合时，2t=20，
解得：t=10，
S=S△ABC=
1
2
×BC×AN=
1
2
×21×12=126；
综合上述，当t=10时，S最大，最大值是126．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．
（1）根据DE∥BC推出△ADE∽△ABC，得出
DE
21
=
20-2t
20
，求出即可；
（2）分为三种情况：①当0＜t＜10时，如图1，过点D作DM⊥BC于点M，作AN⊥BC于点N，由勾股定理求出BN=16，AN=12，推出△BDM∽△BAN，得出比例式，求出DM=
6
5
t，根据S=
1
2
×DE×DM，代入求出S=-
63
50
t2+
63
5
t；②当10＜t≤12时，根据△BAN∽△BDM得出比例式，代入求出DM=
6
5
t，根据△DEA∽△BAC汽车DE=
21
10
t-21，求出S=
63
50
t2-
63
5
t；③当D与A重合时，2t=20，求出t=10，S=S△ABC；
（3）求出三种情况的最大值即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，二次函数的解析式，二次函数的最值，三角形的面积等知识点的综合运用，题目难度偏大．
动点型．
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