试题

图1中旋转的是两个不全等的含45°角的直角三角板，点D在BC上，连接BE、AD，延长AD交BE于点F．
（1）猜想AD、BE的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）将图1中的两个直角三角板换成两个不全等的含30°的直角三角板，如图2，猜想AD、BE的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）将图2中的三角板ECD绕点C旋转到如图3所示的位置，则（2）中的结论是否仍然成立？请加以证明．

（1）答：AD=BE；AD⊥BE．
证明：在△ECB与△DCA中，

CE=CD CB=CA ∠ECD=∠BCA=90°

，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC，
又∵∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠BEC+∠DAC=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE；

（2）答：BE=

3

AD；AD⊥BE；
证明：由题可得：CE=

3

CD；CB=

3

CA，
∴

CE

CD

=

CB

CA

，又∠ECD=∠BCA=90°，
∴△ECB∽△DCA，
∴BE=

3

AD，∠BEC=∠ADC；
又∵∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠BEC+∠DAC=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE；

（3）结论成立．
证明：∵CE=

3

CD；CB=

3

CA，
∴

CE

CD

=

CB

CA

，又∠ECD=∠BCA=90°，
∴△ECB∽△DCA，
得到BE=

3

AD，∠EBC=∠CAD，
图3：由∠CPA+∠CAP=90°，得∠BPF+∠CAP=90°，
又∵∠EBC=∠CAD
∴∠BPE+∠EBC=90°，
∴∠AFB=90°即：AD⊥BE；
图4：由题可知：∠CAD+∠BAF=120°，
又∵∠EBC=∠CAD，
∴∠BAF+∠EBC=120°，
∵∠CBA=30°，
∴∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠AFB=90°即：AD⊥BE
图5：由∠CPB+∠EBC=90°，得∠APE+∠EBC=90°，
又∵∠EBC=∠CAD，
∴∠CAD+∠APE=90°．
∴∠AFB=90°，即：AD⊥BE．
（1）答：AD=BE；AD⊥BE．
证明：在△ECB与△DCA中，

CE=CD CB=CA ∠ECD=∠BCA=90°

，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC，
又∵∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠BEC+∠DAC=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE；

（2）答：BE=

3

AD；AD⊥BE；
证明：由题可得：CE=

3

CD；CB=

3

CA，
∴

CE

CD

=

CB

CA

，又∠ECD=∠BCA=90°，
∴△ECB∽△DCA，
∴BE=

3

AD，∠BEC=∠ADC；
又∵∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠BEC+∠DAC=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE；

（3）结论成立．
证明：∵CE=

3

CD；CB=

3

CA，
∴

CE

CD

=

CB

CA

，又∠ECD=∠BCA=90°，
∴△ECB∽△DCA，
得到BE=

3

AD，∠EBC=∠CAD，
图3：由∠CPA+∠CAP=90°，得∠BPF+∠CAP=90°，
又∵∠EBC=∠CAD
∴∠BPE+∠EBC=90°，
∴∠AFB=90°即：AD⊥BE；
图4：由题可知：∠CAD+∠BAF=120°，
又∵∠EBC=∠CAD，
∴∠BAF+∠EBC=120°，
∵∠CBA=30°，
∴∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠AFB=90°即：AD⊥BE
图5：由∠CPB+∠EBC=90°，得∠APE+∠EBC=90°，
又∵∠EBC=∠CAD，
∴∠CAD+∠APE=90°．
∴∠AFB=90°，即：AD⊥BE．