试题

题目：
青果学院如图△ABC中M为BC的中点，N为AM上一点，过N作直线PQ分别交线段AB、AC于P、Q．
（1）当PQ∥BC时，求证：PN=NQ；
（2）当PQ与BC不平行时，
PB
PA
+
QC
QA
=
2
2
MN
NA
．填空并证明．
答案
2

青果学院解：（1）∵PQ∥BC，∴△APN∽△ABM，
∴
PN
BM
=
AN
AM
，
同理
QN
CM
=
AN
AM
，
∵BM=CM，∴PN=NQ

（2）
PB
PA
+
QC
QA
=2
MN
NA
，
如图，过B，C两点作AM的平行线交直线于D，F，
∵BD∥AM，CE∥AM
∴BD∥CE
∴△BDP∽△ANP，△CEQ∽△ANQ
∴
PB
PA
=
BD
NA
，
QC
QA
=
EC
NA
，
∵M为BC的中点，MN∥CE∥BD
∴NM为梯形BDEC的中位线，
∴BD+EC=2MN，
∴
PB
PA
+
QC
QA
=2
MN
NA
．
故答案为2．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；梯形中位线定理；平行线分线段成比例．
（1）由平行，可证得，△APN∽△ABM，则
PN
BM
=
AN
AM
，同理
QN
CM
=
AN
AM
，从而得出PN=NQ；
（2）分别过B，C两点作AM的平行线交直线于D，F，根据平行线段分线段成比例可证
PB
PA
=
BD
NA
，
QC
QA
=
EC
NA
，再证NM为梯形BDEC的中位线，根据梯形的中位线原理可知BD+EC=2MN，从而得出结论．
本题主要考查相似三角形的判定，梯形的中位线原理，平行线平分线段成比例几个考点，熟练掌握上述定理并灵活运用是解答本题的关键．
证明题．
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