试题

题目：
青果学院（2013·衡水二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，过点C作CC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3…，按此作法进行下去，则
CnCn+1
CnCn-1
=
2
5
5
2
5
5
（其中n≥2）．
答案
2
5
5

解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB=
BC2+AC2
=
12+22
=
5
，
∴sinB=
AC
AB
=
2
5
=
2
5
5
．
在△BC1C中，∵∠BC1C=90°，
∴sinB=
C1C
CB
=
2
5
5
；
青果学院在△C2C1C中，∵∠C1C2C=90°，
∠C1CC2=90°-∠BCC1=∠B，
∴sin∠C1CC2=sinB=
C1C2
C1C
=
2
5
5
；
在△C3C2C1中，∵∠C2C3C1=90°，C1C2∥BC，
∴∠C3C1C2=∠B，
∴sin∠C3C1C2=sinB=
C2C3
C2C1
=
2
5
5
；
在△C4C3C2中，∵∠C3C4C2=90°，
∠C4C2C3=90°-∠A=∠B，
∴sin∠C4C2C3=sinB=
C3C4
C3C2
=
2
5
5
；
同理可得
CnCn+1
CnCn-1
=sinB=
2
5
5
．
故答案为
2
5
5
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
先在△ABC中由勾股定理求出AB=
5
，根据正弦函数的定义得出sinB=
AC
AB
=
2
5
=
2
5
5
，然后依次在△BC1C、△C2C1C、△C3C2C1、△C4C3C2中，求出
C1C
CB
=sinB=
2
5
5
；
C1C2
C1C
=sinB=
2
5
5
；
C2C3
C2C1
=sinB=
2
5
5
；
C3C4
C3C2
=sinB=
2
5
5
；同理可得
CnCn+1
CnCn-1
=sinB=
2
5
5
．
本题主要考查勾股定理，锐角三角函数，平行线、垂线的性质等知识点，关键在于熟练运用三角函数的定义得出sinB=
2
5
5
，然后总结出规律．
规律型．
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