试题

题目：
青果学院（2013·平顶山三模）如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，当
BP
BA
=
1
2
或
3
4
或
3
4
1
2
或
3
4
或
3
4
时，截得的三角形面积为△ABC面积的
1
4
．
答案
1
2
或
3
4
或
3
4

青果学院解：设P（lx）截得的三角形面积为S，S=
1
4
S△ABC，则相似比为1：2，
①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，
∴
BP
BA
=
1
2
，
②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，
∴
BP
BA
=
1
2
，
③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且
BP
BC
=
1
2

∴
BP
BA
=
BP
BC
cos30°
=
3
4
，
④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且
BP
AC
=
1
2
，
∴
AP
AB
=
BP
AC
sin30°
=
1
4
，
∴
BP
BA
=
3
4
，
∴当
BP
BA
=
1
2
或
3
4
或
3
4
时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的
1
4
，
故答案为：
1
2
或
3
4
或
3
4
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
根据相似三角形的性质，可得符合条件的直线有4条，再分别讨论，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案，解题时注意不要漏解．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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