试题

（2013·沙湾区模拟）如图，△ABC的外接⊙O的半径为R，高为AD，∠BAC的平分线交⊙O、BC于E、P，EF切⊙O交AC的延长线于F．
下列结论：①AC·AB=2R·AD；②EF∥BC；③CF·AC=EF·CP；④

CP

BP

=

SinB

SinF

．
请你把正确结论的番号都写上．（填错一个该题得0分）

解：（1）过A作直径AN，连CN．则∠ACN=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ANC=∠B，
∴直角△ACN∽直角△ADB，而AN=2R，
∴AC·AB=2R·AD；

（2）连接OE，
∵∠BAC的平分线交⊙O于E，
∴弧CE=弧BE，∴OE⊥BC，
又∵FE是⊙O的切线，
∴FE⊥OE，
∴EF∥BC；

（3）连CE，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠F，∠FEC=∠ECM，
又∵∠ECM=∠EAB=∠CAM，
∴△FCE∽△CMA，
∴CF·AC=EF·CM；

（4）在直角三角形ADB中，sinB=

AD

BD

，
在直角三角形ADC中，sin∠ACD=

AD

DC

，而EF∥BC，∠ACD=∠F，即sinF=

AD

AC

，
∴

AC

BC

=

SinB

SinF

，而AM为角平分线，所以

CM

AM

=

AC

BC

，
∴

CP

BP

=

SinB

SinF

，
∴①②③④都正确，
故答案为①②③④．