试题

已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G．
求证：BG·AG=DF·DA．

证明：连接BC，FC，CO，
∵过E作⊙O的切线ED，
∴∠DCF=∠CAD，
∠D=∠D，
∴△CDF∽△ADC，
∴

CD

AD

=

DF

CD

，
∴CD²=AD×DF，
∵CG⊥AB，AB为直径，
∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°，
∴∠GBC=∠ACG，
∴△BGC∽△CGA，
∴

CG

AG

=

BG

CG

，
∴CG²=BG×AG，
∵过E作⊙O的切线ED，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAD，
在△AGC和△ADC中，

∠CGA=∠D ∠GAC=∠DAC AC=AC

，
∴△AGC≌△ADC（AAS），
∴CG=CD，
∴BG×AG=AD×DF．
证明：连接BC，FC，CO，
∵过E作⊙O的切线ED，
∴∠DCF=∠CAD，
∠D=∠D，
∴△CDF∽△ADC，
∴

CD

AD

=

DF

CD

，
∴CD²=AD×DF，
∵CG⊥AB，AB为直径，
∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°，
∴∠GBC=∠ACG，
∴△BGC∽△CGA，
∴

CG

AG

=

BG

CG

，
∴CG²=BG×AG，
∵过E作⊙O的切线ED，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAD，
在△AGC和△ADC中，

∠CGA=∠D ∠GAC=∠DAC AC=AC

，
∴△AGC≌△ADC（AAS），
∴CG=CD，
∴BG×AG=AD×DF．