试题

题目：
青果学院如图，在⊙O中D为弧AB的中点，CD为直径，弦AB交CD于P，PE⊥BC于E，BC=12，CE：EB=3：1，求AB的长．
答案
解：∵BC=12，CE：BE=3：1，
∴CE=9，BE=3，
∵在⊙O中D为弧AB的中点，CD为直径，
∴CD⊥AB，AB=2BP，
∴∠CPB=90°，
∵PE⊥CB，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴∠C+∠CPE=90°，∠CPE+∠BPE=90°，
∴∠C=∠BPE，
∴△CEP∽△PEB，
∴
PE
BE
=
CE
PE
，
∴
PE
3
=
9
PE
，
∴PE2=27，
在Rt△PEB中，由勾股定理的：BP=
27+32
=6，
∴AB=2PB=12．
解：∵BC=12，CE：BE=3：1，
∴CE=9，BE=3，
∵在⊙O中D为弧AB的中点，CD为直径，
∴CD⊥AB，AB=2BP，
∴∠CPB=90°，
∵PE⊥CB，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴∠C+∠CPE=90°，∠CPE+∠BPE=90°，
∴∠C=∠BPE，
∴△CEP∽△PEB，
∴
PE
BE
=
CE
PE
，
∴
PE
3
=
9
PE
，
∴PE2=27，
在Rt△PEB中，由勾股定理的：BP=
27+32
=6，
∴AB=2PB=12．
考点梳理
垂径定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
求出BE、CE，证△CEP∽△PEB，求出PE，根据勾股定理求出PB，代入AB=2PB求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
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