试题

如图，在锐角三角形ABC中，BC=10，BC边上的高AM=6，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．

（1）因为，所以△ADE∽△ABC．
（2）如图1，当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（3）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y．
①如图2，当正方形DEFG在△ABC的内部时，求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围；
②如图3，当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围；
③当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC；

（2）当正方形DEFG的边GF在BC上时，
∵△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AN

AM

，
而AN=AM-MN=AM-DE，
∴

DE

10

=

6-DE

6

，
解之得DE=

15

4

，
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为

15

4

；

（3）①当正方形DEFG在△ABC的内部时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，
∵DE=x，
∴y=x²，
此时x的范围是0＜x≤

15

4

；
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
∵△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AN

AM

，
而AN=AM-MN=AM-EP，
∴

x

10

=

6-EP

6

，
解得EP=6-

3

5

x．
所以y=x(6-

3

5

x)，
即y=-

3

5

x2+6x，
此时

15

4

＜x＜10；
③当0＜x≤

15

4

时，
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值y=x2=(

15

4

)2=14.0625，
当

15

4

＜x＜10时，
y=-

3

5

x2+6x，
=-

3

5

(x-5)2+15
∴当x=5时，y有最大值为15，
∵14.0625＜15
∴△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为15．