试题

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点，P异于A、D，Q是BC边上的一动点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）请你判断△APE与△PDF的关系，并说明理由；
（2）若Q是BC的中点，当P点运动到什么位置时，四边形PEQF为菱形？说明理由；
（3）四边形PEQF能否为矩形，为什么？

解：（1）△APE∽△PDF，
∵PE∥DQ，
∴∠APE=∠PDF，
∵PF∥AQ，
∴∠DPF=∠PAE，
∴△APE∽△PDF；

（2）当P运动到AD中点时，四边形PEQF是菱形，连接PQ，
∵四边形PEQF是菱形，
∴∠AQP=∠DQP，
∵Q是BC中点，
∴BQ=CQ，
又∵AB=CD，∠B=∠C，
∴△ABQ≌△DCQ，
∴AQ=DQ，
∵QE=QF，
∴AE=DF，
∵PE=PF，∠AEP=∠PFD，
∴△APD≌△DPF，
∴AP=DP，即P是AD中点；

（3）不能是矩形．
先假设能是矩形，
∵四边形PEQF是矩形，
∴∠EQF=90°，
∴∠AQB+∠DQC=90°，
又∵∠AQB+∠QAB=90°，
∴∠DQC=∠QAB，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABQ∽△QCD，
设BQ=x，则CQ=3-x，
∴

AB

BQ

=

QC

CD

，
即2：x=（3-x）：2，
∴x²-3x+4=0，
∵△=-7＜0，
∴此方程无实数解，
∴假设错误，
∴不能是矩形．
解：（1）△APE∽△PDF，
∵PE∥DQ，
∴∠APE=∠PDF，
∵PF∥AQ，
∴∠DPF=∠PAE，
∴△APE∽△PDF；

（2）当P运动到AD中点时，四边形PEQF是菱形，连接PQ，
∵四边形PEQF是菱形，
∴∠AQP=∠DQP，
∵Q是BC中点，
∴BQ=CQ，
又∵AB=CD，∠B=∠C，
∴△ABQ≌△DCQ，
∴AQ=DQ，
∵QE=QF，
∴AE=DF，
∵PE=PF，∠AEP=∠PFD，
∴△APD≌△DPF，
∴AP=DP，即P是AD中点；

（3）不能是矩形．
先假设能是矩形，
∵四边形PEQF是矩形，
∴∠EQF=90°，
∴∠AQB+∠DQC=90°，
又∵∠AQB+∠QAB=90°，
∴∠DQC=∠QAB，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABQ∽△QCD，
设BQ=x，则CQ=3-x，
∴

AB

BQ

=

QC

CD

，
即2：x=（3-x）：2，
∴x²-3x+4=0，
∵△=-7＜0，
∴此方程无实数解，
∴假设错误，
∴不能是矩形．