试题

题目：
青果学院已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，有一内接正方形DEFC，连接AF交DE于G，若AC=15，BC=10．
（1）求正方形DEFC的边长；（2）求EG的长．
答案
解：（1）∵四边形DECF是正方形，
∴DE=DC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴
AD
AC
=
DE
BC
，
设正方形DEFC的边长为x，
则DE=DC=x，AD=AC-x=15-x，
∴
15-x
15
=
x
10
，
解得：x=6．
∴正方形DEFC的边长为6；

（2）∵四边形DECF是正方形，且边长为6，
∴EF=6，EF∥AD，
∴△EGF∽△DGA，
∴
EG
DG
=
EF
AD
，
设EG=y，则DG=6-y，
∵AD=AC-DC=15-6=9，
∴
y
6-y
=
6
9
，
解得：y=
12
5
．
∴EG=
12
5
．
解：（1）∵四边形DECF是正方形，
∴DE=DC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴
AD
AC
=
DE
BC
，
设正方形DEFC的边长为x，
则DE=DC=x，AD=AC-x=15-x，
∴
15-x
15
=
x
10
，
解得：x=6．
∴正方形DEFC的边长为6；

（2）∵四边形DECF是正方形，且边长为6，
∴EF=6，EF∥AD，
∴△EGF∽△DGA，
∴
EG
DG
=
EF
AD
，
设EG=y，则DG=6-y，
∵AD=AC-DC=15-6=9，
∴
y
6-y
=
6
9
，
解得：y=
12
5
．
∴EG=
12
5
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
（1）首先由正方形的对边平行，以及四条边都相等，可得DE=DC，DE∥BC，即可得△ADE∽△ACB，又由相似三角形的对应边成比例，以求得正方形的边长；
（2）根据（1）中的方法，易得
EG
DG
=
EF
AD
，利用方程即可求得EG的长．
此题考查了正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质．解题时要注意方程思想与数形结合思想的应用．
找相似题