如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC-青果题库-青果学院

题目：

（2009·湖州）如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连接BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连接BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．则S_n=

1

(n+1)2

1

(n+1)2

S_△ABC（用含n的代数式表示）．

答案

1

(n+1)2

解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，S₁=

1

22

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂为其重心，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

32

S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：

2

3

D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=

3

4

D₂E₂=

3

4

×

1

3

BC=

1

4

BC，CE₃=

3

4

CE₂=

3

4

×

1

3

AC=

1

4

AC，S₃=

1

42

S_△ABC…；
∴S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC．

考点梳理

相似三角形的判定与性质；三角形的重心．

试题