试题

如图甲，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不运动至M，C），以AB为直径作⊙O，过点P的切线交AD于点F，切点为E．
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）请连接OF，OP，求证：OF⊥OP；
（3）延长DC，FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（如图乙）．是否存在点P使△EFO∽△EHG（其对应关系是E←→E，F←→H，O←→G）？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由．

（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切线，
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE=FA，PE=PB，
∴四边形CDFP的周长为：CD+DF+EF+CP=AD+DC+CB=6；

（2）证明：连接OF，OP，OE，
∵AF，BP是⊙O的切线，PF是⊙O的切线
∴∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，
∵∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，
∴2∠FOE+2∠EOP=180°，
∴∠EOF+∠EOP=90°，
∴OF⊥OP；

（3）解：存在．理由如下：
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
设AF=y，BP=x，
此时在Rt△AFO中，
y=AF=OA·tan30°=

3

3

，
即x=

1

y

=

3

，
解得：x=

3

 ，y=

3

3

，
∴当 x=

3

，y=

3

3

时，△EFO∽△EHG．
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切线，
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE=FA，PE=PB，
∴四边形CDFP的周长为：CD+DF+EF+CP=AD+DC+CB=6；

（2）证明：连接OF，OP，OE，
∵AF，BP是⊙O的切线，PF是⊙O的切线
∴∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，
∵∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，
∴2∠FOE+2∠EOP=180°，
∴∠EOF+∠EOP=90°，
∴OF⊥OP；

（3）解：存在．理由如下：
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
设AF=y，BP=x，
此时在Rt△AFO中，
y=AF=OA·tan30°=

3

3

，
即x=

1

y

=

3

，
解得：x=

3

 ，y=

3

3

，
∴当 x=

3

，y=

3

3

时，△EFO∽△EHG．