试题

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E分别在线段BC、AC上运动，并保持∠ADE=45°
（1）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；
（2）当BD=

2

2

时，求DE的长．

解：（1）①当AE=AD时，△ADE是等腰三角形，
此时，点E、D分别与点C、B重合，
∴AE=AC=2；
②当AE=DE时，△ADE是等腰三角形，
此时，∠EAD=∠ADE=45°，由题设知，此时点D、E分别为BC、AC的中点，
∴AE=

1

2

AC=1；
③当AD=DE时，△ADE是等腰三角形，
此时由题设知∠B=∠C=45°，
∵AB=AC=2，BC=2

2

，
而∠BAD+∠B=∠ADC=45°+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE，
∴DC=AB=2，CE=BD=BC-DC=2

2

-2，
∴AE=AC-CE=2-[2

2

-2]=4-2

2

．

（2）取BC的中点M，连接AM，
易求得AM=

2

，BM=

2

，∠AMB=90°，
∵BD=

2

2

，
∴DM=BM-BD=

2

-

2

2

=

2

2

，
DC=BC-BD=2

2

-

2

2

=

3 2

2

，
∴在Rt△AMD中，AD=

DM2+AM2

=

10

2

，
由（1）的第三种情况已证∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴

DE

AD

=

DC

AB

，
∴DE=

DC

AB

×AD=

3 2

2

×

1

2

×

10

2

=

3 5

4

．
解：（1）①当AE=AD时，△ADE是等腰三角形，
此时，点E、D分别与点C、B重合，
∴AE=AC=2；
②当AE=DE时，△ADE是等腰三角形，
此时，∠EAD=∠ADE=45°，由题设知，此时点D、E分别为BC、AC的中点，
∴AE=

1

2

AC=1；
③当AD=DE时，△ADE是等腰三角形，
此时由题设知∠B=∠C=45°，
∵AB=AC=2，BC=2

2

，
而∠BAD+∠B=∠ADC=45°+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE，
∴DC=AB=2，CE=BD=BC-DC=2

2

-2，
∴AE=AC-CE=2-[2

2

-2]=4-2

2

．

（2）取BC的中点M，连接AM，
易求得AM=

2

，BM=

2

，∠AMB=90°，
∵BD=

2

2

，
∴DM=BM-BD=

2

-

2

2

=

2

2

，
DC=BC-BD=2

2

-

2

2

=

3 2

2

，
∴在Rt△AMD中，AD=

DM2+AM2

=

10

2

，
由（1）的第三种情况已证∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴

DE

AD

=

DC

AB

，
∴DE=

DC

AB

×AD=

3 2

2

×

1

2

×

10

2

=

3 5

4

．