试题

题目：
青果学院（2011·贵港）如图所示，在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，O是AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于点D、E，点F是⊙O与AB的一个交点，连接DF并延长交CB的延长线于点G，则BG的长是
2
2
-2
2
2
-2
．
答案
2
2
-2

青果学院解：连接OD．
∵AC为圆O的切线，∴OD⊥AC，
又∵AC=BC=4，∠C=90°，∴∠A=45°，
根据勾股定理得：AB=
42+42
=4
2
，
又∵O为AB的中点，∴AO=BO=
1
2
AB=2
2
，
∴圆的半径DO=FO=AOsinA=2
2
×
2
2
=2，
∴BF=OB-OF=2
2
-2．
∵GC⊥AC，OD⊥AC，
∴OD∥CG，
∴∠ODF=∠G，又∵∠OFD=∠BFG，
∴△ODF∽△BGF，
∴
OD
BG
=
OF
BF
，即
2
BG
=
2
2
2
-2
，
∴BG=2
2
-2．
故答案为：2
2
-2．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
连接OD，由AC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD与AC垂直，又AC=BC，且∠C=90°，得到三角形ABC为等腰直角三角形，得到∠A=45°，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，根据勾股定理求出AB的长，又O为AB的中点，从而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO与BO的长，再由OB-OF求出FB的长，同时由OD和GC都与AC垂直，得到OD与GC平行，得到一对内错角相等，再加上对顶角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ODF与三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的长代入即可求出GB的长．
此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质．在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．
几何综合题；压轴题．
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