试题

题目：
青果学院（2013·河池）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是
5
5
．
答案
5

解：设BE=x，则EC=4-x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴
AB
EC
=
BE
FC
，即
4
4-x
=
x
FC
，解得FC=
x(4-x)
4
，
∴DF=4-FC=4-
x(4-x)
4
=
1
4
x2-x+4=
1
4
（x-2）2+3
当x=2时，DF有最小值3，
∵AF2=AD2+DF2，
∴AF的最小值为
42+32
=5．
故答案为：5．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．
设BE=x，则EC=4-x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=
x(4-x)
4
，则DF=4-FC=4-
x(4-x)
4
=
1
4
x2-x+4=
1
4
（x-2）2+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF2=AD2+DF2，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为
42+32
=5．
本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了正方形的性质以及二次函数的最值问题．
计算题．
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