试题

题目：
青果学院如图，已知等腰Rt△ABC的面积是1，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAE=30°，AC与DE相交于点F，则△ADF的面积为（　　）



答案
B
青果学院解：∵△ABC是等腰直角三角形，且其面积是1，
∴
1
2
AC·BC=
1
2
AC2=1
∴AC=BC=
2
，
∴AB=
2
AC=2．
又∵AB=2AD，
∴AD=1．
又∵△ABC∽△ADE，
∴∠CAB=∠CBA=∠EDA=∠EAD=45°．
如图，过F作FG⊥AD，设DG=x，则DG=FG=x，
又∵∠BAE=30°
∴∠DAF=30°
∴AG=
3
AG=
3
x
∴AD=AG+DG=（
3
+1）x=1
∴FG=x=
1
3
+1
=
3
-1
2
，
∴S△ADF=
1
2
AD·FG=
1
2
×1×
3
-1
2
=
3
-1
4
．
故选：B．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积求得AC=BC=
2
，则AB=2．然后由相似三角形的对应角相等证得∠CAB=∠CBA=∠EDA=∠EAD=45°；过F作FG⊥AD，设DG=x，则DG=FG=x，易求AG=
3
AG=
3
x，FG=x=
1
3
+1
=
3
-1
2
，故S△ADF=
1
2
AD·FG=
1
2
×1×
3
-1
2
=
3
-1
4
．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形．解题的关键是求得FG的长度．
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