试题

如图1，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的斜边OB在x轴上，其中∠ABO=30°，OB=4．
（1）直接写出，Rt△AOB的内心P的坐标；
（2）如图2，若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到Rt△ACD，直角边AD与x轴相交于点N，直角边AC与y轴相交于点M，连接MN．设△MON的面积为S_△MON，△AOB的面积为S_△AOB，以点M为圆心，MO为半径作⊙M，
①当直线AD与⊙M相切时，试探求S_△MON与S_△AOB之间的关系．
②当S_△MON=

1

4

S_△AOB时，试判断直线AD与⊙M的位置关系，并说明理由．

解：（1）r=

2+2 3 -4

2

=

3

-1
则P的坐标是：（3-

3

，

3

-1）；

（2）①当AD与⊙M相切时，过M作MN⊥AO于点H，则MH=OM，此时，点H与点A重合．
∴OM=MA
∵∠MOA=α
∠AON=90°-α，∠OAN=90°-α
∠ONA=2α
∴α=30°
∵MN∥CD
∴△AMN∽△ACD
∴

S△MON

S△ACD

=（

AN

AD

）²=（

2

2 3

）²=

1

3

；
②∵S_△AMN=

1

4

S_△AOB=

1

4

S_△ACD，
∴

1 2 OM·ON

1 2 ×2×2 3

=

1

4

，
∵由（2）不难得出：∠MAO=∠BAN，∠AOM=∠ABO，
∴△OAM∽△ANB，
∴

MO

BN

=

AO

AB

=

2

2 3

=

1

3

，
∵设OM=x，BN=

3

x，NO=4-

3

x，
∴

1 2 · x(4- 3 x)

1 2 ×2×2 3

=

1

4

，
解得：x₁=

3

，x₂=

3

3

，
∴当x=

3

时，OM=

3

，NO=1，
∴MN=2，∴AM=1，
∵d＜r，
∴直线AD与⊙M相交，
当x=

3

3

时，MO=

3

3

，NO=3，
∴NM=

9+ 1 3

=

2 21

3

，
∴AM=

21

3

，
∵

21

3

＞

3

3

，
∴直线AD与⊙M相离．
解：（1）r=

2+2 3 -4

2

=

3

-1
则P的坐标是：（3-

3

，

3

-1）；

（2）①当AD与⊙M相切时，过M作MN⊥AO于点H，则MH=OM，此时，点H与点A重合．
∴OM=MA
∵∠MOA=α
∠AON=90°-α，∠OAN=90°-α
∠ONA=2α
∴α=30°
∵MN∥CD
∴△AMN∽△ACD
∴

S△MON

S△ACD

=（

AN

AD

）²=（

2

2 3

）²=

1

3

；
②∵S_△AMN=

1

4

S_△AOB=

1

4

S_△ACD，
∴

1 2 OM·ON

1 2 ×2×2 3

=

1

4

，
∵由（2）不难得出：∠MAO=∠BAN，∠AOM=∠ABO，
∴△OAM∽△ANB，
∴

MO

BN

=

AO

AB

=

2

2 3

=

1

3

，
∵设OM=x，BN=

3

x，NO=4-

3

x，
∴

1 2 · x(4- 3 x)

1 2 ×2×2 3

=

1

4

，
解得：x₁=

3

，x₂=

3

3

，
∴当x=

3

时，OM=

3

，NO=1，
∴MN=2，∴AM=1，
∵d＜r，
∴直线AD与⊙M相交，
当x=

3

3

时，MO=

3

3

，NO=3，
∴NM=

9+ 1 3

=

2 21

3

，
∴AM=

21

3

，
∵

21

3

＞

3

3

，
∴直线AD与⊙M相离．