试题

题目：
如图所示，在矩形ABCD中，E为BC上一动点，BE=kCE，ED交AC于点P，DQ⊥AC于Q，A青果学院B=nBC
（1）当n=1，k=2时（如图1），
CP
PQ
=
1
1
；
（2）当n=
2
，k=1时（如图2），求证：CP=AQ；
（3）若k=1，当n=
2
2
2
2
时，有CP⊥DE．
答案
1

2
2

解：（1）∵矩形ABCD中，AB=AC，
∴AD=BC、AD∥BC，OA=OC，
∴∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CPE，
∴△ADP∽△CEP，
∴
AP
CP
=
AD
CE
，
∵BE=kCE，k=2，
∴AD：CE=3：1，
∴AP：CP=3：1，
∴
CP
PQ
=1．

（2）证明：∵矩形ABCD中，BE=kCE，AB=nBC，n=
2
，k=1，
∴AD∥BC，AD=BC，∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP，
∴
AD
CE
=
AP
CP
=
2
1
，
设BC=1，则AB=
2
，根据勾股定理得AC=
3
，PC=
3
3

∵DAQ=∠BCA、∠AQD=∠B=90°，
∴△ADQ∽△CAB，
∴
AQ
BC
=
AD
AC
=
1
3
，
∴AQ=
3
3
，
∴CP=AQ．

（3）∵矩形ABCD中，BE=kCE，AB=nBC，k=1，
∴AD∥BC，AD=BC，∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CEP，青果学院
∴
AD
CE
=
AP
CP
=
2
1
，
设BC=1，则AB=n，AC=
1+n2
，
∴PC=
1+n2
3
，
∵CP⊥DE，
∴∠CPE=∠CBA，
∵∠ECP=∠ACB，
∴△CPE∽△CBA，
∴
CE
AC
=
CP
BC
，
∴
1
2
1+n2
=
1+n2
3
1
，
∴n=
2
2
．
考点梳理
矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）根据题意可以得出Q为正方形的中点，AQ=CQ，结合△ADP∽△CEP，得出CP和AP的关系，即可得出结论．
（2）同（1）得出CP和AP的关系，设BC=1，则AB=
2
，进而得出AC的长，由条件可以证得△ADQ∽△CAB，即得出AD、CA、AQ、BC之间的关系式，求出AQ的值，即可证得．
（3）把结论当做已知条件，可得△CPE∽△CBA，求得CE、CP、CA、CB之间的关系式，设BC=1，则可以表示出AB、AC、PC的值，代入关系式求解即可．
本题考查了矩形的性质，综合运用了三角形相似的性质，属于基本的题型，要求熟练掌握．
几何综合题．
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