试题

题目：
青果学院如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q，
（1）若
BP
PC
=
1
3
，求
AB
AQ
的值．
（2）若P为BC边上的任意一点，求证：
BC
BP
-
AB
BQ
=1．
答案
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，AB∥CD，
∴△DCP∽△QBP，
∴
BQ
DC
=
BP
CP
=
1
3
，
∴DC=3BQ，
∴AB=3BQ，
∴AQ=4BQ，
∴
AB
AQ
=
3
4
；

（2）证明：∵△DCP∽△QBP，
∴
DC
QB
=
PC
BP
，
∴
AB
BQ
=
PC
BP
，
∴
BC
BP
-
AB
BQ
=
BP+PC
BP
-
AB
BQ
=1+
PC
BP
-
AB
BQ
=1．
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，AB∥CD，
∴△DCP∽△QBP，
∴
BQ
DC
=
BP
CP
=
1
3
，
∴DC=3BQ，
∴AB=3BQ，
∴AQ=4BQ，
∴
AB
AQ
=
3
4
；

（2）证明：∵△DCP∽△QBP，
∴
DC
QB
=
PC
BP
，
∴
AB
BQ
=
PC
BP
，
∴
BC
BP
-
AB
BQ
=
BP+PC
BP
-
AB
BQ
=1+
PC
BP
-
AB
BQ
=1．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
（1）根据矩形的性质推出△DPC∽△QPB，得到比例式，求出AD=BC=4PB，DC=3BQ；
（2）利用△DCP∽△QBP，得出
DC
QB
=
PC
BP
，进而得出
BC
BP
-
AB
BQ
=
BP+PC
BP
-
AB
BQ
即可得出答案．
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的性质和判定、三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据比例式推出正确的结论是解此题的关键．
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