试题

题目：
青果学院如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=
1
3
AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（　　）



答案
C
解：过A作AM⊥BC于M，如图所示：
青果学院
∵S△BEC=
1
2
BC·AM，S·ABCD=BC·AM，
∴S△BEC=
1
2
S·ABCD=
1
2
S，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠CBG，
∴△AEG∽△CBG，又AE=
1
3
AD=
1
3
BC，
∴
EG
GB
=
AE
BC
=
1
3
，
∴S△EFG=
1
3
S△BGF，
又S△EFG+S△BGF=S△BEF，
∴S△EFG=
1
4
S△BEF，
∵AE=
1
3
AD，AD=AE+ED，
∴ED=
2
3
AD=
2
3
BC，
同理得到△EFD∽△CFB，
∴
EF
FC
=
ED
BC
=
2
3
，
∴S△BEF=
2
3
S△BFC，
又S△BEF+S△BFC=S△BEC，
∴S△BEF=
2
5
S△BEC=
1
5
S，
∴S△EFG=
1
20
S．
故选C
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
过A作AM垂直于BC，交BC于点M，利用平行线间的距离相等得到三角形EBC中BC边上的高为AM，利用三角形的面积公式表示出三角形EBC的面积，利用平行四边形的面积公式表示出平行四边形ABCD的面积，得到三角形EBC的面积为平行四边形ABCD面积的一半，由平行四边形的对边相等且平行，得到AD与BC平行且相等，由两直线平行得到两对内错角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形AEG与三角形BCG相似，三角形EFD与三角形BCF相似，由AE=
1
3
AD，得到AE=
1
3
BC，即AE：BC=1：3，由相似得比例得到EG：BG=1：3，根据三角形EFG与三角形BFG底边之比为1：3，高相等得到三角形EFG的面积与三角形BFG的面积之比为1：3，即三角形EFG的面积为BEF面积的
1
4
，同理得到ED=
2
3
AD=
2
3
BC，即DE：BC=2：3，由相似得比例得到EF：FC=2：3，由三角形BEF与三角形CFB底边之比为2：3，高相等得到三角形BEF与三角形BCF面积之比为2：3，即三角形BEF面积为三角形EBC面积的
2
5
，等量代换可得出三角形EFG为平行四边形面积的
1
20
，即可得到正确的选项．
此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，灵活运用转化思想是解本题的关键．
计算题．
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