试题

题目：
青果学院如图所示，在矩形ABCD中，M是BC上一个动点，DE⊥AM，E为垂足，
（1）求证：△ADE∽△ABM；
（2）若3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根．求k的值．
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
又∵∠DEA=∠B=90°，
∴△ADE∽△ABM；
（2）∵AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根，
∴
AB+BC=k-2
AB·BC=2k
，
∵3AB=2BC，
∴
5
3
BC=k-2
2
3
BC2=2k
，
即3k2-37k+12=0，解得k=12或k=
1
3
．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
又∵∠DEA=∠B=90°，
∴△ADE∽△ABM；
（2）∵AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根，
∴
AB+BC=k-2
AB·BC=2k
，
∵3AB=2BC，
∴
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3
BC=k-2
2
3
BC2=2k
，
即3k2-37k+12=0，解得k=12或k=
1
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；根与系数的关系；矩形的性质．
（1）先根据矩形的性质，得到AD∥BC，则∠DAE=∠AMB，又由∠DEA=∠B，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE∽△AMB；
（2）根据根与系数的关系，列出方程组解答即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．（1）中根据矩形的对边平行进而得出∠DAE=∠AMB是解题的关键，此题还将动点问题与一元二次方程和矩形的性质相结合，综合性不错．
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