试题

题目：
青果学院已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E．
（1）求
AE
AC
的值；
（2）若AB=18，FB=EC，求AC的长．
答案
青果学院解：（1）如图，连接FC、AD．
∵点F是AB的中点，CD=BC，
∴FC是△ADB的中位线，
∴FC
∥
.
1
2
AD，
∴△EFC∽△EDA，
∴
AE
CE
=
AD
FC
=2，
∴
AE
AC
=
2
3
；

（2）∵点F是AB的中点，AB=18，FB=EC，
∴EC=
1
2
AB=9．
由（1）知，
AE
CE
=2，则
AE
9
=2，故AE=18，
∴AC=AE+EC=18+9=27．
青果学院解：（1）如图，连接FC、AD．
∵点F是AB的中点，CD=BC，
∴FC是△ADB的中位线，
∴FC
∥
.
1
2
AD，
∴△EFC∽△EDA，
∴
AE
CE
=
AD
FC
=2，
∴
AE
AC
=
2
3
；

（2）∵点F是AB的中点，AB=18，FB=EC，
∴EC=
1
2
AB=9．
由（1）知，
AE
CE
=2，则
AE
9
=2，故AE=18，
∴AC=AE+EC=18+9=27．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）如图，连接FC、AD．易证FC是△ADB的中位线，则FC
∥
.
1
2
AD；然后由“平行法”证得△EFC∽△EDA，则该相似三角形的对应边成比例：
AE
CE
=
AD
FC
=2，所以由比例的性质可以求得
AE
AC
的值；
（2）利用（1）中的比例式，把
1
2
AB=FB=EC=9代入，即可求得AC的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质．此类题要注意作平行线，能够根据相似三角形对应边成比例即可求得线段的比．
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