试题

如图，在平面直角坐标系中有两点A（2，0）和B（0，2），a为过点A且垂直于x轴的直线，P（x，0）为x轴的负半轴上的任一点，连接BP，过P点作PC⊥PB交直线a于点C（2，y）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若将条件“P（x，0）为x轴的负半轴上的任一点”改为“P为x轴上的任一点”，试猜想：（1）中的函数关系式是否仍然成立？请在“①：0＜x＜2”、“②：x＞2”中选择一种情形画图并计算说明；
（3）在（2）的条件下，当y=-

3

2

时，试求△PBC的面积．

解：（1）∵∠BOP=∠PAC=90°，
∴∠PBO+∠BPO=∠CPA+∠BPO，
∴∠PBO=∠CPA，
∴△POB∽△CAP．
∴

OP

OB

=

AC

AP

，
∴

-x

2

=

-y

2-x

，
即y=-

1

2

x²+x．（x＜0）
解法2：在Rt△PBC中运用勾股定理，也可得y=-

1

2

x²+x．

（2）（1）中的函数关系式仍然成立．
①如图：∵∠BOP=∠PAC=90°，
∴∠PBO+∠BPO=∠CPA+∠BPO，
∴∠PBO=∠CPA，
∴△POB∽△CAP．
∴

OP

OB

=

AC

AP

，
∴

x

2

=

y

2-x

，
∴y=-

1

2

x²+x．（0＜x＜2）

（3）当y=-

3

2

时，-

1

2

x²+x=-

3

2

，
解得x₁=3，x₂=-1．
∴当x=3时，PB=

OB2+OP2

=

22+32

=

13

，PC=

13

2

，
∴S_△PBC=

1

2

PB·PC=

13

4

；
当x=-1时，PB=

5

，PC=

3 5

2

，
∴S_△PBC=

1

2

PB·PC=

15

4

．
故△PBC的面积为

13

4

或者

15

4

．
解：（1）∵∠BOP=∠PAC=90°，
∴∠PBO+∠BPO=∠CPA+∠BPO，
∴∠PBO=∠CPA，
∴△POB∽△CAP．
∴

OP

OB

=

AC

AP

，
∴

-x

2

=

-y

2-x

，
即y=-

1

2

x²+x．（x＜0）
解法2：在Rt△PBC中运用勾股定理，也可得y=-

1

2

x²+x．

（2）（1）中的函数关系式仍然成立．
①如图：∵∠BOP=∠PAC=90°，
∴∠PBO+∠BPO=∠CPA+∠BPO，
∴∠PBO=∠CPA，
∴△POB∽△CAP．
∴

OP

OB

=

AC

AP

，
∴

x

2

=

y

2-x

，
∴y=-

1

2

x²+x．（0＜x＜2）

（3）当y=-

3

2

时，-

1

2

x²+x=-

3

2

，
解得x₁=3，x₂=-1．
∴当x=3时，PB=

OB2+OP2

=

22+32

=

13

，PC=

13

2

，
∴S_△PBC=

1

2

PB·PC=

13

4

；
当x=-1时，PB=

5

，PC=

3 5

2

，
∴S_△PBC=

1

2

PB·PC=

15

4

．
故△PBC的面积为

13

4

或者

15

4

．