试题

题目：
青果学院如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是BC边上的高，已知BD=8，CD=3，AD=6，求AB的长及直径AM的长．
答案
青果学院解：连接BM，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵BD=8，AD=6，
∴AB=
AD2+BD2
=10；
∵AM是直径，
∴∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠ADC，
∵∠M=∠C，
∴△ABM∽△ADC，
∴
AB
AM
=
AD
AC
，
∵AC=
62+32
=3
5
，
∴
10
AM
=
6
3
5
，
∴AM=5
5
．
青果学院解：连接BM，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵BD=8，AD=6，
∴AB=
AD2+BD2
=10；
∵AM是直径，
∴∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠ADC，
∵∠M=∠C，
∴△ABM∽△ADC，
∴
AB
AM
=
AD
AC
，
∵AC=
62+32
=3
5
，
∴
10
AM
=
6
3
5
，
∴AM=5
5
．
考点梳理
圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
首先连接BM．由AD是BC边上的高，BD=8，CD=3，AD=6，利用勾股定理即可求得AB与AC的长，易证得△ABM∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得直径AM的长．
此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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