试题

题目：
青果学院在矩形ABCD中（AB＞CD），E为线段AD上的一个动点（E不与A、D两点重合），连接EC，过E点作EF⊥EC交AB于F，连接FC
（1）求证：AF·DC=AE·ED；
（2）E点运动到什么位置时，EF平分∠AFC，证明你的结论．
答案
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；
∴
AE
DC
=
AF
DE
，
∴AF·DC=AE·ED；
（2）E是AD的中点时，AE平分∠AFC，理由如下：
∵EF平分∠AFC，
∴∠AFE=∠EFC，
∴tan∠CFE=
CE
EF
，
同理可得，tan∠AFE=
AE
EF
，
∴
AE
AF
=
CE
CF
，
又∵△AEF∽△DCE，
∴
DE
AF
=
CE
EF
，
∴
AE
AF
=
DE
AF
，
∴AE=DE，
∴E是AD的中点时，AE平分∠AFC．
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；
∴
AE
DC
=
AF
DE
，
∴AF·DC=AE·ED；
（2）E是AD的中点时，AE平分∠AFC，理由如下：
∵EF平分∠AFC，
∴∠AFE=∠EFC，
∴tan∠CFE=
CE
EF
，
同理可得，tan∠AFE=
AE
EF
，
∴
AE
AF
=
CE
CF
，
又∵△AEF∽△DCE，
∴
DE
AF
=
CE
EF
，
∴
AE
AF
=
DE
AF
，
∴AE=DE，
∴E是AD的中点时，AE平分∠AFC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质．
（1）由四边形ABCD是矩形，EF⊥EC，易得∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DEC，由有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定△AEF∽△DCE，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到比例式：
AE
DC
=
AF
DE
，进而证明AF·DC=AE·ED；
（2）由AE平分∠AFC，可得∠AFE=∠EFC，那么两角在各自直角三角形里的正切值相等，可得
AE
AF
=
CE
CF
，再由（1）知△AEF∽△DCE，又可得到比例线段：
DE
AF
=
CE
EF
，两式联合可得：
AE
AF
=
DE
AF
，就有AE=DE，即E是AD中点时，EF平分∠AFC．
此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
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