试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AB=AC=
5
，BC=2．现分别任作△ABC的内接矩形P1Q1M1N1，P2Q2M2N2，P3Q3M3N3，设这三个内接矩形的周长分别为c1、c2，c3，则c1+c2+c3的值是（　　）



答案
C
青果学院解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=
5
，BC=2，
∴BD=CD=
1
2
BC=1，∠B=∠C，
∴AD=
AB2-BD2
=2，
∵四边形P1Q1M1N1是矩形，
∴P1Q1=M1N1，N1P1=M1Q1，N1P1⊥BC，
∴N1P1∥AD，
∴△BN1P1∽△BAD，
∴BP1：BD=N1P1：AD，
∴N1P1=2BP1，
在△BP1N1和△CQ1M1中，
∵
∠B=∠C
∠BP1N1=∠CQ1M1=90°
N1P1=M1Q1
，
∴△BP1N1≌△CQ1M1（AAS），
∴BP1=CQ1，
∴c1=N1P1+P1Q1+M1Q1+M1N1=2BP1+2P1Q1+2BP1=2（BP1+P1Q1+BP1）=2（BP1+P1Q1+CQ1）=2BC=2×2=4，
同理：c2=c3=c1=4．
∴c1+c2+c3=12．
故选C．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
首先过点A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质，可得BD=CD=
1
2
BC=1，∠B=∠C，由勾股定理可求得AD的长，又可证得△BN1P1∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例，可证得N1P1=2BP1，又由△BP1N1≌△CQ1M1（AAS），BP1=CQ1，则可求得c1的值，同理可求得c2，c3的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与整体思想的应用．
压轴题．
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