试题

题目：
青果学院如图，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并与CP的延长线相交于点B，连接PD，CD，又BD=2BP，∠BDP=∠DCP．
求证：（1）PC=3PB；（2）AC=PC．
答案
青果学院证明：（1）∵PC是直径，
∴∠PDC=90°，∴∠BDP+∠ADC=90°，
又∠BDP=∠DCP，
∴∠ADC=∠ACD，即AC=AD，
∴AD也是⊙O的切线，
∴BD2=BP·BC，
∵BD=2BP，即4BP2=BP·BC，
∴BC=4BP，即PC=3BP；

（2）连接OD，则OD⊥AB，
则△BOD∽△BAC，BD=2BP，BC=4BP，
∴
OD
AC
=
BD
BC
=
2BP
4BP
=
1
2
，即AC=2OD，
∴AC=PC．
青果学院证明：（1）∵PC是直径，
∴∠PDC=90°，∴∠BDP+∠ADC=90°，
又∠BDP=∠DCP，
∴∠ADC=∠ACD，即AC=AD，
∴AD也是⊙O的切线，
∴BD2=BP·BC，
∵BD=2BP，即4BP2=BP·BC，
∴BC=4BP，即PC=3BP；

（2）连接OD，则OD⊥AB，
则△BOD∽△BAC，BD=2BP，BC=4BP，
∴
OD
AC
=
BD
BC
=
2BP
4BP
=
1
2
，即AC=2OD，
∴AC=PC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；切线的性质．
（1）由∠BDP=∠DCP可得AD也是圆的切线，再由切线的性质即可求证PC与PB的关系；
（2）由△BOD∽△BAC，得出对应边成比例，进而即可得出结论．
本题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
证明题．
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