试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．
（1）求∠CBE的大小；   
（2）求证：AE2=AC·EC．
答案
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=36°．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=36°；

证明：（2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BC=BE=AE．
在△ABC与△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC．
∴
AC
BC
=
BC
CE
，
即BC2=AC·EC．
∴AE2=AC·EC．
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=36°．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=36°；

证明：（2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BC=BE=AE．
在△ABC与△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC．
∴
AC
BC
=
BC
CE
，
即BC2=AC·EC．
∴AE2=AC·EC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；黄金分割．
（1）由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，进而可求出∠ABC=∠C，易求解．
（2）先由（1）的结论可证得△ABC∽△BEC，根据比例即可证明．
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定以及等腰三角形的性质．关键是证明BC=BE=AE．
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