试题

如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（　　）
①OH∥BF；②∠CHF=45°；③GH=

1

4

BC；④FH²=HE·HB．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

C
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=CB，
而FC=CE，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
而∠BEC=∠DEH，
∴∠EHD=∠BCE=90°，即BH⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴BH平分DF，即HD=HF，
而点O为正方形ABCD的中心，即OD=OB，
∴OH为△DBF的中位线，
∴OH∥BF，则①正确；
∵CH点为Rt△DCF斜边DF上的中线，
∴HD=HF=HC，
∴∠CDH=∠DCH，
而∠CBE=∠CDF=

1

2

∠DBC=22.5°，
∴∠CHF=∠CDF+∠DCH=2×22.5°=45°，则②正确；
∵GH∥CF，HD=HF，
∴DG=GC=

1

2

DC=

1

2

BC，
在Rt△DGH中，∠GDH=22.5°，
tan∠GDH=tan22.5°=

GH

DG

≠

1

2

，
∴GH≠

1

2

DG，
∴GH≠

1

4

BC，则③不正确；
∵∠ECH=∠CBH，∠CHE=CHB，
∴△HEC∽△HCB，
∴HC：HB=HE：HC，即HC²=HE·HB，
而HC=HF，
∴HF²=HC·HB，则④正确；
所以正确的结论有三个．
故选C．