试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作BA1⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为（　　）



答案
D
解：∵A1B1∥AB，
∴Rt△ABA1∽△BA1B1，同理可证：Rt△A1B1A2∽Rt△B1A2B2，…；
即白色部分的小直角三角形与阴影部分的小直角三角形逐一对应相似，
在Rt△ABC中，BA1⊥AC，
由S=
1
2
AB·BC=
1
2
AC·BA1，故BA1=
12
5
，
∴AB：BA1=3：
12
5
=5：4，
∴白色部分小直角三角形的面积和：阴影部分小直角三角形的面积和=AB2：BA12=25：16，
故S阴影=
16
41
S△ABC=
96
41
．
故选D．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
若逐一求阴影部分的面积此题会比较复杂，可从整体的角度来求解此题；易知所有白色部分的小直角三角形都与阴影部分的三角形相似，那么它们的面积比应该等于相似比的平方，它们的相似比为AB：A1B，AB的长已知，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得A1B，由此求得阴影部分占△ABC面积的比例大小，从而可求得阴影部分的面积和．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，注意整体思想在此题中的应用．
压轴题；规律型．
找相似题