试题

题目：
青果学院如图，⊙O和⊙O1分别是△ABC的外接圆和内切圆，两圆的半径分别为6和2，连接AO1并延长交⊙O于D，则AO1·O1D的值为（　　）



答案
A
青果学院解：过D作圆O的直径DQ，连接QC、DC、O1E、BO1、BD，
∠DEC=∠DAC，∠DCQ=90°，
∵O1E⊥AC，
∴∠AEO1=90°=∠DQC，
∴△AO1E∽△QDC，
∴
AO1
DQ
=
O1E
DC
，
AO1·DC=2×（6+6）=24，
∵圆O1是△ABC的内切圆，
∴∠BAD=∠DAC，∠ABO1=∠CBO1，弧BD=弧CD，
∴∠DBO1=∠BO1D，DB=CD，
∴O1D=BD=CD，
∴AO1·O1D=24，
故选A．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；三角形的外角性质；等腰三角形的判定；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．
过D作圆O的直径DQ，连接QC、DC、O1E、BO1、BD，由圆周角定理求出∠DEC=∠DAC，∠DCQ=90°，证△AO1E∽△QDC，得到
AO1
DQ
=
O1E
DC
，求出AO1·DC=24，根据三角形的内切圆和三角形的外角性质推出∠DBO1=∠BO1D，推出O1D=BD=CD，即可求出答案．
本题主要考查对三角形的外角性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
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