试题

如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点F，E恰好是CD的中点，求证：BF²=

1

2

AF²．

解：∵BE⊥AC，∠ABC=∠AFB=90°，
∴△CFB∽△BFA，△CFE∽△BFC．
∴BF²=FC·AF，CF²=EF·BF．
∴BF²=

EF·BF

·AF．
即BF³=EF·AF²．
∵AB∥CD，E恰好是CD的中点，
∴CE：AB=EF：FB．
∴EF=

1

2

BF．
∴BF²=

1

2

AF²．
解：∵BE⊥AC，∠ABC=∠AFB=90°，
∴△CFB∽△BFA，△CFE∽△BFC．
∴BF²=FC·AF，CF²=EF·BF．
∴BF²=

EF·BF

·AF．
即BF³=EF·AF²．
∵AB∥CD，E恰好是CD的中点，
∴CE：AB=EF：FB．
∴EF=

1

2

BF．
∴BF²=

1

2

AF²．