试题

题目：
青果学院如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（　　）



答案
D
解：连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，
所以PB=2；BC是直径，
所以∠BAC=90°，
因为∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
所以∠PAB=∠CAO，
又因为∠CAO=∠ACO，青果学院
所以∠PAB=∠ACO，
又因为∠P是公共角，
所以△PAB∽△PCA，
故
PB
PA
=
BA
AC
，
所以
BA
AC
=
2
4
=
1
2
，在RT△BAC中，AB2+（2AB）2=62；
解得：AB=
6
5
5
，
所以AC=
12
5
5

故选D．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；BC是直径，所以∠BAC=90°，∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
进而证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质即可求出BA和AC的比值，进一步利用勾股定理即可求出AC的长．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，题目的综合性很强，难度中等．
压轴题．
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