如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC...-青果题库-青果学院

题目：

（2010·江干区模拟）如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连接BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连接BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．则（　　）
A．S_n=

1

4n

S_△ABC
B．S_n=

1

n+3

S_△ABC
C．S_n=

1

2(n+1)

S_△ABC
D．S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC

答案

D

解：∵S_△BDnEn=

1

2

S_△CDnEn·CEn，
∴DnEn=D₁E₁·CEn·

D1E1

CE1

，而D₁E₁=

1

2

BC，CE1=

1

2

AC，
∴S_△BDnEn=

1

2

·

1

2

BC·

CEn

1

2

AC

·CEn=

1

2

BC·CEn

AC

·CEn=

1

2

BC·AC[

CEn

AC

]²
=S_△ABC·[

CEn

AC

]²，
延长CD₁至F使得D₁F=CD₁，
∴四边形ACBF为矩形．
∴

CEn

AC

=

DnEn

AF

=

CEn-1

+BF

AF

=

CEn-1

CEn-1+AC

，
对于

CEn

AC

=

CEn-1

CEn-1+AC

，
两边均取倒数，
∴

AC

CEn

=1+

AC

CEn

，
即是

AC

CEn

-

AC

CEn-1

=1，
∴

AC

CEn

构成等差数列．
而

AC

CE1

=2，
故

AC

CEn

=2+1·（n-1）=n+1，
∴S_△BDnEn=S_△ABC·[

CEn

AC

]²，
则S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC．
故选D．

考点梳理

相似三角形的判定与性质；三角形的重心．

试题