试题

如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．
（1）求证：△ACP∽△ADQ；
（2）当P为BC的中点时，求

PE

PC

的值；
（3）在（2）的条件下，求证：EQ=

5

2

DQ．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°，

AC

AD

=

2

，
∵△APQ为等腰直角三角形，
∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°，

AP

AQ

=

2

，
∴∠PAC=∠QAD，

AC

AD

=

AP

AQ

，
∴△ACP∽△ADQ；

（2）解：设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，
∴AP=

AB2+PB2

=

(2a)2+a2

=

5

a，AC=2

2

a，
∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，
∴△APE∽△ACP，
∴

PE

PC

=

AP

AC

=

5 a

2 2 a

=

10

4

；

（3）证明：∵PC=a，

PE

PC

=

10

4

，
∴PE=

10

4

a，
∵PQ=

2

2

AP=

10

2

a，
∴EQ=PQ-PE=

10

4

a，
又∵△ACP∽△ADQ，
∴

PC

DQ

=

AC

AD

，即

a

DQ

=

2 2 a

2a

，
∴DQ=

2

2

a，
∴

EQ

DQ

=

10 a 4

2 2 a

=

5

2

，
∴EQ=

5

2

DQ．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°，

AC

AD

=

2

，
∵△APQ为等腰直角三角形，
∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°，

AP

AQ

=

2

，
∴∠PAC=∠QAD，

AC

AD

=

AP

AQ

，
∴△ACP∽△ADQ；

（2）解：设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，
∴AP=

AB2+PB2

=

(2a)2+a2

=

5

a，AC=2

2

a，
∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，
∴△APE∽△ACP，
∴

PE

PC

=

AP

AC

=

5 a

2 2 a

=

10

4

；

（3）证明：∵PC=a，

PE

PC

=

10

4

，
∴PE=

10

4

a，
∵PQ=

2

2

AP=

10

2

a，
∴EQ=PQ-PE=

10

4

a，
又∵△ACP∽△ADQ，
∴

PC

DQ

=

AC

AD

，即

a

DQ

=

2 2 a

2a

，
∴DQ=

2

2

a，
∴

EQ

DQ

=

10 a 4

2 2 a

=

5

2

，
∴EQ=

5

2

DQ．