试题

题目：
青果学院如图，在矩形ABCD中，E为BC中点，ED交AC于点P，DQ⊥AC于点Q，AB=
2
BC，
求证：AQ=QP．
答案
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，∠D=90°，
∵E为BC中点，
∴AD=BC=2CE，
∵AD∥CE，
∴△ADP∽△CEP，
∴
AD
CE
=
DP
PE
，
∵AD=2CE，
∴DP=2PE，
即DP=
2
3
DE，
∵CD=AB=
2
BC=2
2
CE，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2=DC2+CE2，
∴DE2=9CE2，
∴DE=3CE，
∴DP=
2
3
DE=2CE=AD，
∵DQ⊥AP，
∴AQ=QP．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，∠D=90°，
∵E为BC中点，
∴AD=BC=2CE，
∵AD∥CE，
∴△ADP∽△CEP，
∴
AD
CE
=
DP
PE
，
∵AD=2CE，
∴DP=2PE，
即DP=
2
3
DE，
∵CD=AB=
2
BC=2
2
CE，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2=DC2+CE2，
∴DE2=9CE2，
∴DE=3CE，
∴DP=
2
3
DE=2CE=AD，
∵DQ⊥AP，
∴AQ=QP．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
根据矩形性质得出AD=BC，DC=AB，AD∥BC，∠D=90°，求出AD=BC=2CE，证△ADP∽△CEP，退出DP=2PE，求出DP=
2
3
DE，根据勾股定理求出AD=AP，根据等腰三角形性质得出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．
证明题．
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