试题

如图，O是△ABC的内角平分线的交点，过O作DE⊥AO交AB，AC于D，E．
求证：BD·CE=OD·OE．

证明：∵AO平分∠BAC，DE⊥AO，
∴∠DAO=∠EAO．
在△ADO和△AEO中

∠DAO=∠EAO AO=AO ∠AOD=∠AOE

，
∴△ADO≌△AEO（ASA），
∴∠ADO=∠AEO，
∴∠BDO=∠OEC=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠BOC=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠BDO=∠OEC=∠BOC，
∵O是△ABC的内角平分线的交点，
∴∠1=∠2，
∴△DBO∽△OBC，
同理可得出：△BOC∽△OEC，
∴△DBO∽△EOC，
∴

BD

OE

=

OD

EC

，
∴BD·EC=OD·OE．
证明：∵AO平分∠BAC，DE⊥AO，
∴∠DAO=∠EAO．
在△ADO和△AEO中

∠DAO=∠EAO AO=AO ∠AOD=∠AOE

，
∴△ADO≌△AEO（ASA），
∴∠ADO=∠AEO，
∴∠BDO=∠OEC=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠BOC=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠BDO=∠OEC=∠BOC，
∵O是△ABC的内角平分线的交点，
∴∠1=∠2，
∴△DBO∽△OBC，
同理可得出：△BOC∽△OEC，
∴△DBO∽△EOC，
∴

BD

OE

=

OD

EC

，
∴BD·EC=OD·OE．